¿Qué es el Cálculo?

E

l Cálculo Infinitesimal es la rama de las matemáticas que comprende el estudio y aplicaciones del Cálculo Diferencial e Integral.

El Cálculo es la matemática del cambio: velocidades y aceleraciones. Cálculo es también la matemática de rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco, centroides, curvaturas y otros diversos conceptos que han hecho que los científicos, ingenieros y economistas puedan modelar situaciones de la vida real.

ORIGEN DEL CÁLCULO

Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal comenzaron a plantearse en la Grecia Clásica (siglo III a.n.e.), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el siglo XVII), con la contribución de Newton y Leibniz.

En lo que concierne a las derivadas, existen dos conceptos geométricos que le dieron origen:

• ·         El problema de la tangente a una curva.
• ·         El problema de los extremos (máximos y mínimos)

Que en su conjunto dieron origen a lo que actualmente se conoce como Cálculo Diferencial.

SIGLO XVII

Los matemáticos perdieron el “miedo” que los antiguos griegos le habían tenido a los infinitos: Kepler y Cavalieri fueron los primeros en usarlos, y comenzaron a abrir el camino que medio siglo después culminaría en el descubrimiento del cálculo infinitesimal.

•     A mediados del siglo XVII, las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculo de tangentes, áreas, volúmenes; Los primeros darían origen al cálculo diferencial y los otros al Cálculo Integral.
• ·         Aumentaron considerablemente el número de aplicaciones del cálculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, así como la intuición geométrica, causaban todavía confusión y controversia sobre sus fundamentos.

PERSONAJES QUE TUVIERON APORTACIONES EN EL CÁLCULO

– Newton y Leibniz

Estos dos personajes, a fines del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos los métodos usados por sus predecesores: lo que hoy llamamos derivadas e integrales.

Desarrollaron, además, reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación), y mostraron que ambos conceptos eran operaciones inversas (como la suma y la resta, la multiplicación y la división, etcétera), lo cual es la esencia del Teorema Fundamental del Cálculo.

                                                                  

– Isaac Newton

N. en 1642 en Woolsthorpe, Inglaterra.

M. en 1727 en Cambridge, Inglaterra.

Desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto con Fermat.

A fines de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de “Fluxión”, que para él era la velocidad con la que una variable “fluye” (varía) con el tiempo.

– Gottfried Wilhelm Leibniz

N. en 1646 en Leipzig, Alemania.

M. en 1716 en Hannover, Alemania.

Descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en 1675.

Fue el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera diez años antes.

En su investigación conservó un carácter geométrico y, -diferenciándose de Newton- trató a la derivada como un cociente de incremental y no como una velocidad.

Fue quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se le deben los nombres de: Cálculo Diferencial y Cálculo Integral, así como los símbolos y el de , para la derivada y la integral, respectivamente, que en la actualidad conservan vigencia y uso.

Fue el primero en usar el término “Función” y el uso de símbolo para la igualdad.

– Jacques y Jacobo Bernoulli

Los hermanos suizos Jacques y Jacobo Bernoulli, contribuyeron enormemente al desarrollo del cálculo creado por Leibniz.

Comunicándose con él mediante el correo, formaron casi todo lo que hoy conocemos del cálculo diferencial.

– Marqués de L´Hopital

Contrató a Bernoulli para que le explicara los nuevos descubrimientos acerca del cálculo diferencial.

Al dominar esta rama, en 1696, L´Hopital publicó el primer libro de esta materia, dando escuetísimo reconocimiento a Bernoulli. Este texto adquirió mayor celebridad por el resultado más importante que en él aparece: “La regla de L´Hopital”.

¿QUIÉN DESCUBRIÓ EL CÁLCULO?

Los dos descubrimientos fueron independientes y siguieron vías muy distintas, tanto conceptual como metodológicamente.

Newton fuel el primero en descubrir y desarrollar el método de fluxiones entre 1666 y 1669, año en que escribió el manuscrito De Analysi, pero su fobia a publicar le hizo dilatar la divulgación del mismo hasta 1704.

Leibniz descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en Su primera publicación sobre el tema fue en 1684 – seis años antes que lo hiciera Newton-.

 La difusión de las nuevas ideas fue muy lenta, y al principio, sus aplicaciones fueron escasas. Los nuevos métodos tuvieron cada vez más éxito y permitieron resolver con facilidad muchos problemas. Los nuevos logros fueron sometidos a severas críticas, pues la justificación y las explicaciones lógicas y rigurosas de los procedimientos empleados no se dieron hasta avanzado el siglo XIX, cuando aparecieron otros matemáticos, más preocupados por la presentación final de los métodos que por su utilización en la resolución de problemas concretos.

DEL SIGLO XIX HASTA NUESTROS DÍAS.

Dos siglos pasaron hasta que las desprolijidades de en los fundamentos del cálculo diferencial se solucionaron, y hoy, aquel cálculo, potencialmente enriquecido, se muestra como uno de los profundos hallazgos del razonamiento y como la más portentosa herramienta matemática.